1. 生涯
エルウィン・ブルーノ・クリストッフェルの生涯は、ドイツのモンシャウでの出生から始まり、ベルリン大学での学業、チューリッヒ工科大学やストラスブール大学での学術キャリア、そして引退後の晩年に至るまで、数学と物理学の発展に貢献した軌跡を辿る。
1.1. 出生と初期の教育
クリストッフェルは1829年11月10日、プロイセン王国のモンジョワ(Montjoie、現在のモンシャウ)で、布商人の家庭に生まれた。彼は幼少期に自宅で語学と数学の教育を受けた後、ケルンのイエズス会のギムナジウムとフリードリヒ・ヴィルヘルムのギムナジウムに通い、基礎的な学問を修めた。
1.2. 大学での学業と博士号取得
1850年、クリストッフェルはベルリン大学に入学し、数学を専攻した。特にペーター・グスタフ・ディリクレからは強い影響を受け、彼の指導の下で深く学んだ。また、数学だけでなく、物理学や化学の講義にも積極的に参加し、幅広い科学的知識を習得した。1856年には、マルティン・オーム(ゲオルク・オームの弟)、エルンスト・クンマー、ハインリヒ・グスタフ・マグヌスの指導のもと、「均質な物体中の電気の運動」に関する論文を執筆し、ベルリン大学で博士号を取得した。
1.3. 学術キャリア
博士号取得後、クリストッフェルは故郷のモンジョワに戻り、その後3年間は学術界から離れて過ごした。しかし、この期間も彼はベルンハルト・リーマン、ディリクレ、そしてオーギュスタン＝ルイ・コーシーといった著名な数学者の著作を通じて、特に数理物理学を含む数学の研究を独学で継続した。この時期に、彼は微分幾何学に関する2つの重要な論文を発表している。
1859年、クリストッフェルはベルリンに戻り、大学教授資格(Habilitationハビリタチオンドイツ語)を取得し、ベルリン大学の員外講師(Privatdozentプリヴァートドツェントドイツ語)となった。1862年には、リヒャルト・デーデキントが去った後に空席となったチューリッヒ工科大学の教授職に任命された。彼は、設立からわずか7年しか経っていないこの若い機関に新たな数学研究所を組織し、その功績は高く評価された。この間も彼は研究論文を発表し続け、1868年にはプロイセン科学アカデミーとミラノのIstituto Lombardoの通信会員に選出された。
1869年、クリストッフェルは工業専門学校(Gewerbeakademieゲヴェルベアカデミードイツ語、現在のベルリン工科大学の一部)の教授として再びベルリンに戻った。彼のチューリッヒ工科大学での後任にはヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツが就任した。しかし、工業専門学校は、近隣のベルリン大学との激しい競争に直面し、高等数学の講義を維持するのに十分な学生を確保することが困難であった。このため、クリストッフェルはわずか3年でベルリンを再び離れることになった。
1.4. 引退と晩年
1872年、クリストッフェルはストラスブール大学の教授に就任した。ストラスブール大学は、普仏戦争でプロイセンがアルザス＝ロレーヌを併合した後、近代的な大学として再編されていた数世紀の歴史を持つ教育機関であった。クリストッフェルは、同僚のテオドール・ライェと共に、ストラスブールに評判の高い数学科を築き上げた。彼は研究発表を継続し、藤沢利喜太郎、ルートヴィヒ・マウラー、パウル・エプシュタインを含む数人の博士課程学生を指導した。
1894年、クリストッフェルはストラスブール大学を退職し、後任にはハインリヒ・ヴェーバーが就いた。引退後も彼は研究活動を続け、論文の執筆に励んだ。彼の最後の論文は死去の直前に完成し、死後に出版された。クリストッフェルは1900年3月15日にストラスブールで死去した。彼は生涯独身であり、家族を残さなかった。
2. 主要な業績
クリストッフェルは、数学および物理学の多岐にわたる分野で画期的な貢献を成し遂げた。特に微分幾何学における彼の業績は、後のテンソル解析や一般相対性理論の発展に不可欠な基礎を築いた。
2.1. 微分幾何学
クリストッフェルは、主に微分幾何学における独創的な貢献で記憶されている。1869年にクレレ誌に掲載された、n変数の微分形式に対する等価性問題に関する彼の有名な論文において、彼は後に共変微分と呼ばれる基本的な技法を導入した。この技法を用いて、彼はリーマン多様体の曲率を表現する最も一般的な方法であるリーマン＝クリストッフェルのテンソルを定義した。
同じ論文の中で、彼は局所座標系に関するレヴィ＝チヴィタ接続の成分を表現するクリストッフェル記号 Γkij と Γkij を導入した。クリストッフェルのこれらのアイデアは、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロとその学生であるトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタによってさらに一般化され、大きく発展した。彼らはこれらのアイデアをテンソルと絶対微分学の概念へと転換させた。後にテンソル解析と呼ばれることになるこの絶対微分学は、一般相対性理論の数学的基礎を形成することとなった。
2.2. 複素解析
クリストッフェルは複素解析の分野にも貢献した。特に、シュワルツ＝クリストッフェル写像は、リーマンの写像定理の最初の非自明で構成的な応用として知られている。この写像は、楕円関数論や物理学の様々な領域において多くの応用を持つ。楕円関数の分野では、彼はアーベル積分やテータ関数に関する研究成果も発表している。
2.3. 数値解析
クリストッフェルは、積分のためのガウス求積法を一般化した。これに関連して、彼はルジャンドル多項式のためのクリストッフェル＝ダルブー式を導入し、後に一般の直交多項式のための式も発表した。これらの業績は、数値解析の分野に重要な貢献をもたらした。
2.4. 数理物理学とその他の研究
クリストッフェルは、ポテンシャル論や微分方程式の理論においても研究を行ったが、これらの分野における彼の研究の多くは、当時あまり注目されなかった。彼は、偏微分方程式の解における不連続性の伝播に関する2つの論文を発表しており、これは衝撃波の理論における先駆的な仕事と見なされている。
また、彼は物理学、特に光学に関する研究も発表したが、彼のこの分野での貢献は、光エーテルの概念が放棄されるにつれて、すぐにその有用性を失った。その他にも、不変式の理論や測地学にも関心を持ち、研究を行った。
3. 私生活
エルウィン・ブルーノ・クリストッフェルは生涯結婚せず、家族を残さなかった。
4. 受賞と栄誉
クリストッフェルは、その学術的功績により、いくつかの著名な学術団体から通信会員に選出された。
- プロイセン科学アカデミー(1868年)
- Istituto Lombardo(1868年)
- ゲッティンゲン科学アカデミー(1869年)
また、彼はプロイセン王国からその活動に対して以下の勲章を授与された。
- 赤鷲勲章3等(弓付き)(1893年)
- プロイセン王冠勲章2等(1895年)
5. 主要な論文
クリストッフェルが発表した主要な論文には以下のものがある。
- Über die Gaußische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben (1858年)
- Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades (1869年)
- Gesammelte Mathematische Abhandlungen (1910年) - 死後に出版された全集で、ルートヴィヒ・マウラー、アドルフ・クラーツァー、ゲオルク・ファーバーによって編集された2巻からなる。
6. 影響と評価
クリストッフェルの学術的遺産は、後世の数学および物理学に計り知れない影響を与え、彼の研究成果は科学の発展に根本的な貢献をしたと評価されている。
6.1. 後世への影響
クリストッフェルの理論、特に共変微分、リーマン＝クリストッフェルのテンソル、クリストッフェル記号の導入は、テンソル解析の基礎を築いた。彼のアイデアは、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロとトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタによってさらに発展させられ、絶対微分学へと昇華された。この絶対微分学、すなわちテンソル解析は、後のアルベルト・アインシュタインによる一般相対性理論の数学的枠組みとして不可欠なものとなり、現代物理学の発展に決定的な役割を果たした。
6.2. 学術的貢献への評価
数学史において、クリストッフェルの業績は極めて重要であると評価されている。彼の微分幾何学における先駆的な研究は、空間の曲率を記述するための強力な数学的ツールを提供し、リーマン多様体の理解を深めた。彼の理論は、純粋数学の発展だけでなく、一般相対性理論という物理学の画期的な理論の誕生を可能にした点で、科学全体の進歩に根本的な影響を与えた。クリストッフェルの名前が、今日でもクリストッフェル記号やシュワルツ＝クリストッフェル写像といった基本的な数学的概念に冠されていることは、彼の貢献の永続的な重要性を示している。