数学者アメリカ人イタリア人微分幾何学者

エウジェニオ・カラビ

Eugenio Calabi (1923-2023) was an Italian-born American mathematician known for the Calabi conjecture and Calabi-Yau manifolds, significantly impacting mathematics and physics.

1. 生涯と教育

1.1. 出生と家族

カラビは1923年5月11日にイタリアのミラノでユダヤ系家庭に生まれた。彼の姉はジャーナリストのトゥッリア・ツェーヴィである。

1.2. 人種法による移住

1938年、家族はイタリア人種法のためにイタリアを離れることを余儀なくされ、1939年にアメリカ合衆国へ移住した。

1.3. 教育

1939年の秋、わずか16歳でマサチューセッツ工科大学に入学し、化学工学を専攻した。彼の学業は、1943年に第二次世界大戦中のアメリカ軍に徴兵され、兵役を務めたことで中断された。1946年に除隊した後、カラビはG.I.法案を利用して学士号を取得し、パットナム・フェローに選出された。彼は1947年にイリノイ大学アーバナ・シャンペーンで数学の修士号を取得し、1950年にはプリンストン大学で数学の博士号を取得した。彼の博士論文のタイトルは「ケーラー多様体の等長複素解析的埋め込み(Isometric complex analytic imbedding of Kähler manifolds)」であり、サロモン・ボクナーの指導の下で執筆された。

2. 学術的経歴

2.1. 教授職と所属

1951年から1955年までルイジアナ州立大学で助教授を務め、1955年にミネソタ大学に移籍し、1960年には正教授となった。1964年、カラビはペンシルベニア大学の数学科に加わった。ハンス・ラーデマッハーの退職に伴い、1968年にはペンシルベニア大学のトーマス・A・スコット数学教授に任命された。1994年には名誉教授となり、2014年には同大学から名誉博士号(科学)を授与された。

3. 受賞と栄誉

3.1. 栄誉と会員資格

1982年、カラビは米国科学アカデミーの会員に選出された。1991年にはアメリカ数学会からスティール賞を受賞し、その際の受賞理由として、彼の「大域微分幾何学、特に複素微分幾何学における基礎的な研究」が「この分野の状況を大きく変えた」と評価された。2012年にはアメリカ数学会のフェローとなった。2021年にはイタリア共和国功労勲章のコマンドール章を授与された。

4. 数学的貢献

4.1. ケーラー幾何学

1954年の国際数学者会議において、カラビはケーラー計量のリッチ曲率をどのように規定できるかに関する定理を発表した。しかし、後に連続性の方法を用いた彼の証明に欠陥があることが判明し、この結果はカラビ予想として知られるようになった。1957年、カラビは論文を発表し、そこでこの予想を命題として述べたが、証明は公然と不完全であった。彼は問題のいかなる解も一意に定義されることを完全に証明したが、存在の問題を特定の偏微分方程式の先験的評価を確立する問題に還元することしかできなかった。1970年代に入り、シン＝トゥン・ヤウがカラビ予想に取り組み始め、当初はそれを反証しようと試みた。数年間の研究の後、彼は予想の証明を見つけ、その妥当性からいくつかの驚くべき代数幾何学的結果を確立することができた。予想の特定のケースとして、リッチ曲率がゼロのケーラー計量が多くの複素多様体上で確立され、これらは現在「カラビ・ヤウ計量」として知られている。これらは1980年代以降、弦理論の研究において重要な意味を持つようになった。

1982年、カラビは定スカラー曲率のケーラー計量を見つけるための提案として、現在「カラビ流」として知られる幾何学的流れを導入した。さらに広範に、カラビは「極値ケーラー計量」の概念を導入し、それらが「カラビ汎関数」の厳密な大域的最小値を提供すること、およびいかなる定スカラー曲率計量もまた大域的最小値であることを確立した。後に、カラビと陳秀雄は馬渕利明によって導入された計量について広範な研究を行い、カラビ流が任意の2つのケーラー計量間の馬渕距離を縮小することを示した。さらに、彼らは馬渕計量がケーラー計量の空間に非正曲率のアレクサンドロフ空間の構造を与えることを示した。彼らの研究の技術的な難しさは、無限次元の文脈における測地線の微分可能性が低いことにある。

カラビのよく知られた構成は、曲率が下から有界なエルミートベクトル束の全空間に完全なケーラー計量を置くものである。基底が完全なケーラー・アインシュタイン多様体であり、ベクトル束が階数1で定曲率の場合、全空間に完全なケーラー・アインシュタイン計量が得られる。複素空間形式の余接束の場合には、超ケーラー計量が得られる。江口-ハンソン空間は、カラビの構成の特殊なケースである。

4.2. 幾何学的解析学

カラビはリーマン幾何学において「ラプラス比較定理」を発見した。これは、リーマン計量のリーマン距離関数に適用されるラプラス・ベルトラミ作用素とリッチ曲率を関連付けるものである。リーマン距離関数は一般にいたるところで微分可能ではないため、定理の大域的な定式化において困難が生じる。カラビは、後にマイケル・G・クランダルとピエール＝ルイ・リオンによって導入された粘性解に先行する、微分不等式の一般化された概念を用いた。エーベルハルト・ホップの強最大値原理を彼の粘性解の概念に拡張することで、カラビは自身のラプラス比較定理を用いて、ジョセフ・ケラーとロバート・オッサーマンの最近の結果をリーマンの文脈に拡張することができた。最大値原理の異なる利用に基づいたさらなる拡張は、後に程時瑜やシン＝トゥン・ヤウなどによって見出された。

極小曲面に対する古典的なベルンシュタイン問題と並行して、カラビは最大曲面に対する類似の問題を考察し、低次元における問題を解決した。無条件の解答は後に程時瑜とシン＝トゥン・ヤウによって見出された。彼らはカラビがリーマン距離関数の非微分可能性を回避するために開拓した「カラビのトリック」を用いた。類似の研究において、カラビは以前に、ユークリッド空間全体で定義され、「右辺」が1に等しいモンジュ・アンペール方程式の凸解を考察していた。コンラート・イェルゲンスは以前に2変数関数のこの問題を研究し、いかなる解も二次多項式であることを証明していた。問題をアフィン幾何学の1つとして解釈することで、カラビは自身のラプラス比較定理に関する以前の研究を適用し、イェルゲンスの研究をいくつかの高次元に拡張することができた。この問題は後にアレクセイ・ポゴレロフによって完全に解決され、その結果は一般に「イェルゲンス・カラビ・ポゴレロフ定理」として知られている。

その後、カラビはアフィン超曲面の問題を考察し、まずそのような曲面をルジャンドル変換が特定のモンジュ・アンペール方程式を解くものとして特徴づけた。イェルゲンスの定理を拡張する彼の以前の方法を適用することで、カラビは完全なアフィン楕円超曲面を分類することができた。さらなる結果は後に程時瑜とシン＝トゥン・ヤウによって得られた。

4.3. 微分幾何学

カラビとベノ・エックマンは1953年にカラビ・エックマン多様体を発見した。これは、いかなるケーラー計量も持たない単連結な複素多様体として注目される。

小平邦彦の最近の研究に触発され、カラビとエドアルド・ヴェセンティーニはカルタン領域のコンパクトな正則商空間の無限小剛性を考察した。ボホナー技法と小平の層コホモロジーの発展を利用して、彼らは高次元の場合の剛性を証明した。彼らの研究は、後にジョージ・モストウやグリゴリー・マルグリスの仕事に影響を与え、彼らはカラビとヴェセンティーニの無限小剛性の結果や、アトル・セルバーグやアンドレ・ヴェイユによる関連研究を理解しようとする試みから、彼らの大域的剛性の結果を確立した。

カラビとローレンス・マーカスは、ローレンツ幾何学における正曲率の空間形式の問題を考察した。彼らの結果は、ジョセフ・A・ウルフが「非常に驚くべき」と評したもので、基本群が有限でなければならないこと、そして向き付け可能性の条件の下で、ド・ジッター空間の対応する等長変換群が赤道球面に忠実に等長変換として作用すると主張する。したがって、彼らの空間形式の問題は、正曲率のリーマン空間形式の問題に還元される。

1950年代のジョン・ナッシュの研究は、等長埋め込みの問題を考察した。彼の研究は、そのような埋め込みが非常に柔軟で変形可能であることを示した。カラビは博士論文で、複素幾何学的空間形式への正則等長埋め込みの特殊なケースを以前に考察していた。彼の驚くべき結果は、そのような埋め込みが内在幾何学と問題の空間形式の曲率によって完全に決定されることを示している。さらに、彼は「ジアスタティック関数」の導入を通じて存在の問題を研究することができた。これはケーラーポテンシャルから構築され、リーマン距離関数を模倣する局所的に定義された関数である。カラビは、正則等長埋め込みがジアスタティック関数を保存しなければならないことを証明した。結果として、彼は正則等長埋め込みの局所的存在のための基準を得ることができた。

後に、カラビはユークリッド球面における2次元の極小曲面(高余次元)を研究した。彼は、位相的に球状な極小曲面の面積が離散的な値の集合しか取らないこと、そして曲面自体が特定のエルミート対称空間における有理曲線によって分類されることを証明した。

5. 私生活

5.1. 結婚と家族

カラビは1952年にジュリアーナ・セグレと結婚し、一男一女をもうけた。

6. 死去

6.1. 死去の状況

カラビは2023年9月25日に100歳で死去した。彼はブリンマーの自宅で息を引き取った。

7. 遺産と影響

彼の数学的業績、特にカラビ予想やカラビ・ヤウ多様体は、後世の数学および理論物理学に継続的な影響と重要性を与えた。彼の「大域微分幾何学、特に複素微分幾何学における基礎的な研究」は、この分野の状況を「大きく変えた」と評価されている。

8. 主要な出版物

カラビは50未満の研究論文を発表した。

  • Calabi, Eugenio. Isometric imbedding of complex manifolds. Ann. of Math. (2) 58 (1953), 1-23.
  • Calabi, Eugenio; Eckmann, Beno. A class of compact, complex manifolds which are not algebraic. Ann. of Math. (2) 58 (1953), 494-500.
  • Calabi, E. The space of Kähler metrics. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volume II, pp. 206-207. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1954.
  • Calabi, Eugenio. On Kähler manifolds with vanishing canonical class. Algebraic Geometry and Topology, pp. 78-89. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1957.
  • Calabi, E. An extension of E. Hopf's maximum principle with an application to Riemannian geometry. Duke Mathematical Journal 25 (1958), 45-56.
  • Calabi, Eugenio. Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens. Michigan Mathematical Journal 5 (1958), 105-126.
  • Calabi, Eugenio; Vesentini, Edoardo. On compact, locally symmetric Kähler manifolds. Ann. of Math. (2) 71 (1960), 472-507.
  • Calabi, E.; Markus, L. Relativistic space forms. Annals of Mathematics (2) 75 (1962), 63-76.
  • Calabi, Eugenio. Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres. Journal of Differential Geometry 1 (1967), 111-125.
  • Calabi, Eugenio. Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations. Global Analysis (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XV, Berkeley, Calif., 1968), pp. 223-230. American Mathematical Society, Providence, RI, 1970.
  • Calabi, Eugenio. Complete affine hyperspheres. I. Symposia Mathematica, Vol. X (Convegno di Geometria Differenziale, 1971; Convegno di Analisi Numerica, 1972), pp. 19-38. Academic Press, London, 1972.
  • Calabi, E. Métriques kählériennes et fibrés holomorphes. (French) Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (4) 12 (1979), no. 2, 269-294.
  • Calabi, Eugenio. Extremal Kähler metrics. Seminar on Differential Geometry, pp. 259-290. Annals of Mathematics Studies, 102, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1982.
  • Calabi, Eugenio. Extremal Kähler metrics. II. Differential Geometry and Complex Analysis, pp. 95-114. Springer, Berlin, 1985.
  • Calabi, E.; Chen, X. X. The space of Kähler metrics. II. Journal of Differential Geometry 61 (2002), no. 2, 173-193.

カラビの論文集は2021年に出版された。

  • Calabi, Eugenio. Collected Works. Edited by Jean-Pierre Bourguignon, Xiuxiong Chen, and Simon Donaldson. Springer, Berlin, 2021.