1. 生涯
ピエール・ドリーニュの生涯は、幼少期からの数学への深い関心と、世界をリードする数学者たちとの協働によって特徴づけられる。
1.1. 出生と初期の経歴
ドリーニュは1944年10月3日にベルギーのエテルベーク(Etterbeekエテルベークオランダ語)で生まれた。彼は幼い頃から数学に非凡な才能を示し、14歳の時には既にニコラ・ブルバキの『数学原論』を読みこなしていたという。この時期に培われた基礎的な数学的素養が、後の彼の輝かしいキャリアの礎となった。
1.2. 学歴
ドリーニュはブリュッセル自由大学(ULB)で学び、大学入学時には既に大学レベルの数学の課程を全て修了していたと言われている。ULBでは「レフシェッツの定理とスペクトル系列の退化基準」と題する論文を執筆した。その後、1972年にパリ第11大学(オルセー)でアレクサンドル・グロタンディークの指導のもと、「ホッジ理論」に関する論文で博士号を取得した。この時期のグロタンディークとの出会いは、ドリーニュの数学的思考に決定的な影響を与えた。
2. 経歴と研究活動
ドリーニュの数学者としてのキャリアは、主にIHÉSとプリンストン高等研究所という二つの重要な機関で展開された。
2.1. IHÉSでの初期研究
1965年から、ドリーニュはパリ近郊にある高等科学研究所(IHÉS)でアレクサンドル・グロタンディークと共に研究を開始した。当初は、ザリスキの主定理のスキーム理論における一般化に取り組んだ。
1968年にはジャン＝ピエール・セールとも共同研究を行い、モジュラー形式に付随するl進表現や、L-関数の関数方程式に関する重要な結果を導き出した。また、この時期にホッジ理論にも深く取り組み、「重み」の概念を導入し、複素幾何学の対象に適用した。
さらに、デイヴィッド・マンフォードと共同で曲線のモジュライ空間の新しい記述に取り組んだ。彼らの研究は、代数的スタック理論の一形式への導入と見なされ、近年では弦理論から生じる問題にも応用されている。
しかし、ドリーニュのIHÉSにおける最も著名な貢献は、ヴェイユ予想の3番目で最後の予想の証明であった。この証明は、アレクサンドル・グロタンディークによって10年以上にわたって開始され、大部分が開発されてきたプログラムを完成させるものであった。この証明の系として、彼はモジュラー形式に対する有名なラマヌジャン・ピーターソン予想を、重みが1より大きい場合について証明した。重みが1の場合については、セールとの共同研究で既に証明されていた。ドリーニュの1974年の論文には、ヴェイユ予想の最初の証明が含まれている。ドリーニュの貢献は、リーマン予想の幾何学的類似物と見なされるフロベニウス自己準同型の固有値の評価を提供することであった。これはまた、ハード・レフシェッツ定理や古典的な指数和の古いおよび新しい評価など、他の応用にもつながった。ドリーニュの1980年の論文には、リーマン予想のはるかに一般的なバージョンが含まれている。
ドリーニュは1970年から1984年までIHÉSの終身メンバーであった。この期間中、彼は代数幾何学以外の分野でも多くの重要な業績を残した。ジョージ・ルスティグとの共同研究では、エタールコホモロジーをリー型群の有限群の表現論の構成に応用した。また、ミカエル・ラポポールとは、モジュラー形式への応用を伴う「精密な」算術的観点からのモジュライ空間について研究した。
2.2. プリンストン高等研究所での活動
1984年、ドリーニュはプリンストンにあるプリンストン高等研究所(IAS)に移籍した。IASでの活動中、彼はジョージ・モストウと共同でモノドロミーに関する書籍を執筆した。
3. 主要な数学的業績
ドリーニュは、そのキャリアを通じて数学の複数の分野にわたる画期的な貢献を行い、その多くは現代数学の基礎を形成している。
3.1. ヴェイユ予想の証明
ドリーニュの最も著名な業績は、アンドレ・ヴェイユが提唱したヴェイユ予想の完全な証明である。この予想は、有限体上の代数多様体のゼータ関数の性質に関するもので、リーマン予想の有限体版とも言える内容を含んでいた。ドリーニュは1973年にこの予想の最後の部分を証明し、1974年の論文でその詳細を発表した。この証明は、アレクサンドル・グロタンディークが開始し、長年にわたって進めてきたスキーム理論とエタールコホモロジーのプログラムを完成させるものであった。
この証明の重要な帰結として、ドリーニュはモジュラー形式に関する有名なラマヌジャン・ピーターソン予想を、重みが1より大きい場合について解決した。これは、フロベニウス自己準同型の固有値に関する評価、すなわちリーマン予想の幾何学的類似物を提供することによって達成された。ヴェイユ予想の証明は、ハード・レフシェッツ定理や古典的な指数和の評価など、数多くの数学的結果にも波及した。1980年の論文では、リーマン予想のより一般的な形式を提示している。
3.2. ホッジ理論と動機
ドリーニュはホッジ理論に決定的な貢献をした。彼は、未完成で大部分が未解明なモチーフ理論の代替として、絶対ホッジサイクルを定義した。この概念は、特定の応用においてホッジ予想に関する知識の不足を回避することを可能にした。
古典的なホッジ理論を一般化する強力なツールである混合ホッジ構造の理論は、重みフィルター、広中平祐の特異点解消、その他の手法を適用することによって構築され、その後、ヴェイユ予想の証明にも用いられた。
1990年の「グロタンディーク祝賀論文集」に掲載された論文では、ベックのモナド性定理を用いてタナカ・カテゴリー理論を再構築した。タナカ・カテゴリーの概念は、究極のヴェイユコホモロジー理論としてのモチーフ理論の線形性を圏論的に表現するものである。これら全ては、「重みのヨガ」の一部であり、ホッジ理論とl進ガロア表現を結びつけるものである。志村多様体理論は、そのような多様体が単に(算術的に興味深い)ホッジ構造の優れた族をパラメトライズするだけでなく、実際のモチーフをパラメトライズするという考え方によって関連している。この理論はまだ完成されたものではなく、より最近の傾向ではK理論のアプローチが用いられている。
3.3. モジュライ空間と代数的スタック
デイヴィッド・マンフォードとの共同研究において、ドリーニュは曲線のモジュライ空間の新しい記述に貢献し、そのコンパクト化を行った。彼らの研究は、代数的スタック理論の一形式への導入と見なされており、近年では弦理論から生じる問題にも応用されている。特に、ドリーニュ・マンフォード・スタックの導入は、この分野における画期的な業績として知られている。
3.4. 表現論と代数群
ジョージ・ルスティグとの共同研究では、ドリーニュはエタールコホモロジーをリー型群の有限群の表現論の構成に応用した。この共同研究は、ドリーニュ・ルスティグ理論として知られ、幾何学的な既約表現の構成と既約表現の分類に重要な貢献をした。
3.5. パーヴァーシュ・シーヴと関連理論
アレクサンダー・ベイリンソン、ジョゼフ・バーンスタイン、オフェル・ガバーとの共同研究を通じて、ドリーニュはパーヴァーシュ・シーヴ理論に決定的な貢献をした。この理論は、ゴー・バオ・チャウによるラングランズ・プログラムの基本補題の最近の証明において重要な役割を果たした。
また、ドリーニュ自身もこの理論を用いて、ヒルベルトの第21問題を高次元に拡張するリーマン・ヒルベルト対応の性質を大幅に明確化した。ドリーニュの論文以前には、ゾグマン・メブクートの1980年の論文や、柏原正樹のD-加群理論による研究(1980年代に発表)がこの問題に関して発表されていた。
3.6. その他の業績
ドリーニュの数学的貢献は多岐にわたり、上記の主要な分野以外にも数多くの重要な業績がある。
1974年にIHÉSで発表されたフィリップ・グリフィス、ジョン・モーガン、デニス・サリバンとの共同論文は、コンパクトケーラー多様体の実ホモトピー理論に関するもので、複素微分幾何学における主要な業績であり、古典的および現代的に重要な複数の問題を解決した。その研究には、ヴェイユ予想、ホッジ理論、ホッジ構造の変形、および多くの幾何学的・位相的ツールが不可欠であった。
彼の複素特異点理論に関する研究は、ミルナー写像を代数的な設定に一般化し、ピカール・レフシェッツ公式をその一般的な形式を超えて拡張し、この主題における新しい研究方法を生み出した。
ケン・リベットとの論文は、アーベルL関数とそのヒルベルトモジュラー曲面およびp進L関数への拡張に関するもので、彼の算術幾何学における重要な研究の一部をなしている。
その他の重要な研究業績には、コホモロジー的降下の概念、モチーフL関数、混合層、近傍消失サイクル、簡約群の中心拡大、ブレイド群の幾何学とトポロジー、志村多様体の現代的な公理的定義の提供、ジョージ・モストウとの共同研究による非算術的格子と2次元および3次元複素双曲空間における超幾何微分方程式のモノドロミーの例などがある。
また、ザリスキ予想の解決、二つの変形量子化の間の相対コホモロジーの導入、ドリーニュ・セール定理(モジュラー形式のl進表現)、ドリーニュ・カズダン跡公式、ドリーニュ・モストウ分類(射影直線の配置空間の分類)、ドリーニュ・コホモロジーの構成、多重ゼータ値とモチーフの関係付けなども彼の重要な業績として挙げられる。
4. 受賞歴と栄誉
ピエール・ドリーニュは、その卓越した数学的貢献に対して数多くの国際的な賞と栄誉を受けている。
- 1978年：フィールズ賞
- 1978年：フランス科学アカデミー外国人会員
- 1988年：クラフォード賞
- 2004年：バルザン賞(代数幾何学、代数的および解析的整数論、群論、トポロジー、グロタンディークのモチーフなど、数学の様々な重要な分野への貢献、特に新しい強力な道具を用いて有限体上のリーマン予想(ヴェイユ予想)を証明した功績に対して)
- 2006年：ベルギー国王により子爵に叙せられる
- 2008年：ウルフ賞数学部門(混合ホッジ理論、ヴェイユ予想、リーマン・ヒルベルト対応、数論への貢献に対して)
- 2009年：スウェーデン王立科学アカデミー外国人会員
- 2009年：アメリカ哲学協会居住会員
- 2013年：アーベル賞(代数幾何学への画期的な貢献と、数論、表現論、関連分野への変革的な影響に対して)
- ノルウェー科学文学アカデミー会員
5. ドリーニュにちなむ数学的概念
ピエール・ドリーニュの名前が冠された数学的な概念、定理、理論は数多く存在する。
- ブリリンスキー・ドリーニュ拡大
- ドリーニュトーラス
- ドリーニュ・ルスティグ理論
- ドリーニュ・マンフォード曲線モジュライ空間
- ドリーニュ・マンフォード・スタック
- フーリエ・ドリーニュ変換
- ドリーニュ・コホモロジー
- ドリーニュ・モチーフ
- ドリーニュ・テンソル積(アーベル圏の)
- ホッジ構造における混合ホッジ構造に関するドリーニュの定理
- ラングランズ・ドリーニュ局所定数
- ヴェイユ・ドリーニュ群
また、数学におけるいくつかの異なる予想が「ドリーニュ予想」と呼ばれている。
- ドリーニュのホッホシルトコホモロジーに関する予想
- l関数の特殊値に関するドリーニュ予想：lがL関数であり、nがある集合内の整数である場合に、L(n)の代数性に関する予想
- 代数幾何学におけるモチーフ理論から生じる1-モチーフに関するドリーニュ予想
- 複素乗法の理論におけるグロス・ドリーニュ予想
- モノドロミーに関するドリーニュ予想(重みモノドロミー予想、またはモノドロミーフィルターの純粋性予想とも呼ばれる)
- 例外リー群の表現論におけるドリーニュ予想(E7½)
- 標数0における離散リーマン・ロッホの定理に関するドリーニュ・グロタンディーク予想
- ミルナーファイバーのミルナーの公式の微分的解釈に関するドリーニュ・ミルナー予想(近傍サイクルとそのオイラー数の拡張の一部)
- モチーフとタナカ圏の一部として定式化されたドリーニュ・ミルン予想
- ラングランズ哲学の発展に関連して歴史的に重要なドリーニュ・ラングランズ予想
- レフシェッツ跡公式に関するドリーニュ予想(現在は藤原一宏の等変対応の定理と呼ばれている)
6. 主要な著作
ピエール・ドリーニュは、数学の様々な分野における自身の研究成果を数多くの論文や書籍として発表している。
- Deligne, Pierre (1974). 「La conjecture de Weil: I」. Publications Mathématiques de l'IHÉS. Vol. 43, pp. 273-307.
- Deligne, Pierre (1980). 「La conjecture de Weil : II」. Publications Mathématiques de l'IHÉS. Vol. 52, pp. 137-252.
- Deligne, Pierre (1990). 「Catégories tannakiennes」. Grothendieck Festschrift Vol II. Progress in Mathematics. Vol. 87, pp. 111-195.
- Deligne, Pierre; Griffiths, Phillip; Morgan, John; Sullivan, Dennis (1975). 「Real homotopy theory of Kähler manifolds」. Inventiones Mathematicae. Vol. 29, No. 3, pp. 245-274.
- Deligne, Pierre; Mostow, George Daniel (1993). Commensurabilities among Lattices in PU(1,n). Princeton, N.J.: Princeton University Press.
- Deligne, Pierre; Etingof, Pavel; Freed, Daniel S.; Jeffrey, Lisa C.; Kazhdan, David; Morgan, John W.; Morrison, David R.; Witten, Edward, eds. (1999). Quantum fields and strings: a course for mathematicians. Vols. 1, 2. Princeton, NJ: American Mathematical Society; Institute for Advanced Study.