アメリカ人数学者物理学者学者

マーティン・クルスカル

マーティン・デイヴィッド・クラスカルは、ソリトン理論で特に知られるアメリカの数学者・物理学者で、プラズマ物理学から一般相対性理論まで多岐にわたる分野に根本的な貢献を果たした。

1. 生涯

1.1. 幼少期と教育

マーティン・デイヴィッド・クラスカルは1925年9月28日にニューヨーク市のユダヤ系家庭に生まれ、ニューヨークのニューロシェルで育った。彼は一般的には「マーティン」として知られていたが、家族からは「デイヴィッド」と呼ばれていた。彼の父であるジョセフ・B・クラスカル・シニア(Joseph B. Kruskal Sr.英語)は成功した毛皮卸売業者であった。母のリリアン・ローズ・フォアハウス・クラスカル・オッペンハイマー(Lillian Rose Vorhaus Kruskal Oppenheimer英語)は、テレビの初期時代に折り紙芸術の著名な推進者となり、ニューヨーク市にアメリカ折り紙センターを設立し、後にOrigamiUSAとなった。彼は5人兄弟の1人であり、2人の兄も著名な数学者であった。そのうちジョセフ・クラスカル(Joseph Kruskal英語、1928年 - 2010年)は、多次元尺度構成法、クラスカル木定理、クラスカル法の発見者として知られている。また、ウィリアム・クラスカル(William Kruskal英語、1919年 - 2005年)は、クラスカル・ウォリス検定の発見者である。

クラスカルはシカゴ大学とニューヨーク大学で学んだ。ニューヨーク大学では、著名な数学者リチャード・クーラントとバーナード・フリードマン(Bernard Friedman英語)の指導のもと、「極小曲面に関する橋の定理(The Bridge Theorem For Minimal Surfaces英語)」と題する博士論文を執筆し、1952年に博士号を取得した。

1.2. 学術的キャリア

博士号取得後、クラスカルはキャリアの大部分をプリンストン大学で過ごした。1951年から同大学のプラズマ物理学研究所の研究員として活動を開始し、その後、学術的な地位を順次高めていった。1961年には天文学教授に就任し、1968年には応用・計算数学プログラムの創設者兼議長を務め、この分野における彼の先見的なリーダーシップを示した。1979年には数学教授となり、その多岐にわたる学術的貢献が評価された。

1989年にプリンストン大学を退職した後も、彼の研究活動は継続された。彼はラトガース大学の数学科に移籍し、ダフィット・ヒルベルト記念数学講座の教授として、死去するまで教鞭を執り続けた。この期間も、彼は多岐にわたる数学的・物理学的研究に取り組んだ。

2. 主要な研究分野と業績

マーティン・デイヴィッド・クラスカルは、非線形解析、プラズマ物理学、一般相対性理論、ソリトン、パンルヴェ方程式、超現実数、漸近論など、多岐にわたる分野で独創的なアイデアと方法論を提示し、学術的に大きな貢献を果たした。

2.1. 非線形解析と偏微分方程式

クラスカルは偏微分方程式と非線形解析の分野において生涯にわたる深い関心を抱き、この分野で基礎的な概念と方法論を確立した。特に、漸近展開や断熱不変量に関する彼の研究は、その後の数学的解析の発展に重要な影響を与えた。彼の博士論文「極小曲面に関する橋の定理」は、この分野における彼の初期の貢献を示している。

2.2. プラズマ物理学

1950年代から1960年代初頭にかけて、クラスカルは主にプラズマ物理学の研究に取り組み、この分野の基礎となる多くの概念を開発した。彼の断熱不変量理論は、核融合研究において重要な役割を果たした。彼の名が冠されたプラズマ物理学の重要な概念には、クラスカル・シャフラノフ不安定性やバーンスタイン・グリーン・クラスカルモード(BGKモード)がある。また、I・B・バーンスタイン(I. B. Bernstein英語)、E・A・フリーマン(E. A. Frieman英語)、R・M・クルスルド(R. M. Kulsrud英語)と共に、MHDエネルギー原理を開発した。彼の関心は、実験室プラズマだけでなく、プラズマ天体物理学にも及んだ。

2.3. 一般相対性理論

1960年、クラスカルは一般相対性理論における最も単純なタイプのブラックホールの完全な古典的時空構造を発見した。シュワルツシルト解は、一般相対性理論の初期に発見された球対称な時空を記述するが、その本来の形式では、ブラックホールの事象の地平線外部の領域しか記述していなかった。クラスカルは(ジョージ・シケレスと並行して)、シュワルツシルト解の最大解析接続を発見し、現在クラスカル・シケレス座標と呼ばれる座標系を用いてエレガントにその構造を示した。

この発見により、クラスカルはブラックホールの内部が2つの同一の漸近平坦な宇宙をつなぐ「ワームホール」のように見えるという驚くべき事実を明らかにした。これは一般相対性理論におけるワームホール解の最初の具体的な例であった。このワームホールは、観測者や信号が一方の宇宙から他方の宇宙へ移動する前に特異点へと崩壊する。これは現在、一般相対性理論におけるワームホールの一般的な運命であると考えられている。1970年代にブラックホール熱力学の熱的性質が発見された際、シュワルツシルト解のワームホールとしての特性は重要な要素であることが判明した。現在では、量子重力を理解しようとする試みにおいて、基本的な手がかりの一つとされている。

2.4. ソリトンと可積分系

クラスカルの最も広く知られた業績は、1960年代における、時間と一つの空間変数に依存する特定の非線形偏微分方程式の可積分性の発見である。この発展は、クラスカルとノーマン・ザブスキー(ハリー・ダイムの協力も得て)によるコルテヴェーグ＝ド・フリース方程式(KdV方程式)として知られる非線形方程式の先駆的なコンピュータシミュレーションから始まった。KdV方程式は、非線形な分散波の伝播を記述する漸近モデルである。しかし、クラスカルとザブスキーはKdV方程式の「孤立波」解が、分散せずに伝播し、他の同様の波と衝突した後もその形状を回復するという驚くべき発見をした。このような波の粒子的な特性から、彼らはこれを「ソリトン」と名付け、この用語は瞬く間に定着した。

この研究は、エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラム、メアリー・シングーが1955年にロスアラモス国立研究所で行ったある種の非線形格子(フェルミ・パスタ・ウラム問題)の初期のコンピュータシミュレーションで観測された、準再帰のパラドックスに部分的に動機付けられたものであった。これらの著者たちは、予想されていた急速な熱平衡化とは対照的に、一次元非調和振動子鎖の長時間にわたる準再帰的な挙動を観測していた。クラスカルとザブスキーは、クラスカルがその一次元鎖の連続体極限として得たKdV方程式をシミュレートし、熱平衡化とは逆のソリトン的な挙動を発見した。これがその現象の核心であることが判明した。

孤立波現象は、19世紀にジョン・スコット・ラッセルの研究に端を発する謎であった。彼は1834年に、現在ソリトンと呼ばれる波が運河を伝播するのを観測し、馬に乗って追いかけた。波水槽実験でのソリトン観測にもかかわらず、スコット・ラッセルは「大変換波」という最大の振幅を持つ孤立波に焦点を当てたため、それらをソリトンとは認識しなかった。1844年に英国科学振興協会への報告書で発表された彼の実験的観測は、ジョージ・エアリーやジョージ・ストークスの線形水波理論では説明できなかったため、懐疑的に見られた。ジョゼフ・ブシネスク(1871年)とレイリー卿(1876年)は、スコット・ラッセルの観測を正当化する数学理論を発表した。1895年、ディーデリク・コルテヴェーグとグスタフ・ド・フリースは、浅水波(ラッセルが観測した運河の波など)を記述するためにKdV方程式を定式化したが、この方程式の本質的な特性は、1960年代のクラスカルとその共同研究者たちの研究まで理解されていなかった。

ソリトン的な挙動は、KdV方程式が質量、エネルギー、運動量という自明な保存則を超えた保存則を持つことを示唆していた。第4の保存則はジェラルド・ウィザムによって、第5の保存則はクラスカルとザブスキーによって発見された。ロバート・M・ミウラは、関連する修正コルテヴェーグ＝ド・フリース方程式(MKdV方程式)にも多くの保存則が存在することを示し、手作業でいくつかの新しい保存則を発見した。ミウラはこれらの保存則を用いて、KdV方程式とMKdV方程式の解の間の関係(ミウラ変換と呼ばれる)を示した。これは、クラスカルがクリフォード・S・ガードナー(Clifford S. Gardner英語)、ジョン・M・グリーン(John M. Greene英語)、ミウラ(GGKM)と共にKdV方程式の厳密解と保存則を理解するための一般的な手法を発見することを可能にした手がかりとなった。これが逆散乱法であり、KdV方程式が無限個のポアソン可換な保存量を持つ完全可積分であることを示す驚くほどエレガントな方法であった。この発見は、ソリトン現象を理解するための現代的な基礎を与えた。すなわち、孤立波は、すべての保存則を満たす唯一の方法であるため、出射状態でも再現されるのである。GGKMの直後、ピーター・ラックスは逆散乱法を等スペクトル変形とラックス対の観点から解釈することで有名になった。

逆散乱法は、数学と物理学の様々な分野で驚くほど多様な一般化と応用を生み出してきた。クラスカル自身も、サイン・ゴルドン方程式の無限個の保存量の存在など、いくつかの一般化を開拓した。これにより、M・J・アブロヴィッツ(M. J. Ablowitz英語)、D・J・カウプ(D. J. Kaup英語)、A・C・ニューウェル(A. C. Newell英語)、H・セガール(H. Segur英語)(AKNS)によって、その方程式に対する逆散乱法が発見された。サイン・ゴルドン方程式は、1+1次元の相対論的波動方程式であり、ソリトン現象も示し、可解な相対論的場の理論の重要なモデルとなった。AKNSに先立つ画期的な研究で、ウラジーミル・E・ザハロフとシャバト(Shabat英語)は非線形シュレーディンガー方程式に対する逆散乱法を発見している。

ソリトンは現在、物理学から生物学に至るまで、自然界に遍在していることが知られている。1986年、クラスカルとザブスキーは、フランクリン協会からハワード・N・ポッツ・ゴールドメダルを共同受賞した。その理由は、「数理物理学への貢献と、解析と計算の初期の創造的な組み合わせ、とりわけソリトンの特性に関する画期的な研究」であった。2006年にアメリカ数学会がガードナー、グリーン、クラスカル、ミウラにスティール賞を授与した際、彼らの研究以前には「重要なクラスの非線形微分方程式の厳密解に対する一般的な理論は存在しなかった」と述べた。アメリカ数学会はさらに、「数学の応用において、ソリトンとその派生物(キンク、反キンク、インスタントン、ブリーザー)は、非線形光学、プラズマ物理学、海洋学、気象学、惑星科学といった多様な分野に進出し、それらを変革してきた。非線形性は、排除すべき煩わしさから、活用すべき新しいツールへと、革命を遂げた」と付け加えた。

クラスカルは、1993年に国家科学賞を受賞した。授賞理由は、「20年以上にわたり非線形科学のリーダーとして、非線形発展方程式のソリトン解理論の主要な立役者としての影響力」に対してであった。

ミレニアムの転換期における数学の現状を調査した記事の中で、著名な数学者フィリップ・A・グリフィスは、KdV方程式の可積分性の発見が「最も美しい形で数学の統一性を示した」と書いている。彼は「それは計算、そして微分方程式を研究する伝統的な方法である数学的解析における発展を含んでいた。これらの微分方程式の解は、代数幾何学におけるある種の非常に洗練された構築物を通して理解できることが判明した。解はまた、これらの方程式が無限の隠れた対称性を持つという点で、表現論と密接に関連している。最後に、それらは初等幾何学の問題にまで遡って関連している」と述べている。

2.5. パンルヴェ方程式

1980年代、クラスカルはパンルヴェ方程式に強い関心を持つようになった。これらの方程式は、ソリトン方程式の対称性簡約として頻繁に現れ、クラスカルはこれらのパンルヴェ方程式を特徴づける特性と完全可積分系との間に存在する密接な関係に魅了された。彼のその後の研究の多くは、この関係を理解し、パンルヴェ方程式を研究するための新しい直接的で単純な方法を開発することによって推進された。クラスカルは、微分方程式に対する標準的なアプローチに満足することはめったになかった。

6つのパンルヴェ方程式は、パンルヴェ性と呼ばれる特性を持っている。それは、初期条件に依存するすべての特異点の周りで、その解が一価であるというものである。クラスカルの意見では、この特性がパンルヴェ方程式を定義するものであるため、いかなる追加の不必要な構造もなく、これから始めて、それらの解に関するすべての必要な情報を導き出すべきであるとされた。最初の成果は、ナリニ・ジョシ(Nalini Joshi英語)との共同研究によるパンルヴェ方程式の漸近研究であり、当時としては関連する線形問題を使用する必要がなかったという点で異例であった。古典的な結果に対する彼の執拗な問いかけは、ジョシとの共同で開発された、パンルヴェ方程式のパンルヴェ性を証明するための直接的かつ単純な方法へとつながった。

2.6. 超現実数と漸近論

キャリアの後期において、クラスカルの主要な関心の一つは超現実数の理論であった。超現実数は、構成的に定義され、実数のすべての基本的な性質と演算を持つ。これには、実数に加え、多くの種類の無限大と無限小が含まれる。クラスカルは、その理論の基礎、超現実関数の定義、およびその構造の分析に貢献した。彼は、超現実数、漸近法、および指数漸近法との間に驚くべき関連性を発見した。1970年代後半にジョン・ホートン・コンウェイ、クラスカル、ノートン(Norton英語)によって提起され、クラスカルが粘り強く研究した主要な未解決問題は、十分に振る舞いの良い超現実関数が定積分を持つかどうかというものであった。この問題は、コンウェイらが望んだ完全な一般性においては、コスティン(Costin英語)、フリードマン(Friedman英語)、エーリッヒ(Ehrlich英語)によって2015年に否定的に回答された。しかし、コスティンらの分析は、クラスカルの広範に conceivedされた漸近解析のビジョンが通り抜ける十分に広範なクラスの超現実関数には、確かに定積分が存在することを示している。クラスカルが亡くなる時、彼はO・コスティンと共に超現実解析に関する書籍を執筆中であった。

クラスカルは、「極限状況にある応用数学的システムを扱う芸術」を表現するために「漸近論(asymptotology英語)」という用語を造語した。彼は漸近論の七つの原則を定式化している。それは、1. 単純化の原則(The Principle of Simplification英語)、2. 再帰の原則(The Principle of Recursion英語)、3. 解釈の原則(The Principle of Interpretation英語)、4. 野生行動の原則(The Principle of Wild Behaviour英語)、5. 消滅の原則(The Principle of Annihilation英語)、6. 最大均衡の原則(The Principle of Maximal Balance英語)、7. 数学的無意味の原則(The Principle of Mathematical Nonsense英語)である。

「漸近論」という用語は、「ソリトン」ほど広く使われているわけではない。様々な種類の漸近法は、科学の誕生以来ほとんど常に成功裏に使用されてきた。しかし、クラスカルは漸近論が知識の特別な分野であり、ある意味で科学と芸術の中間に位置することを証明しようと努めた。彼の提案は非常に実り多いものであることが判明している。

3. 私生活

マーティン・デイヴィッド・クラスカルはニューヨーク市に生まれ、ニューロシェルで育ったユダヤ系アメリカ人の家庭の出身である。家族からは「デイヴィッド」、世間からは「マーティン」と呼ばれた。彼の父ジョセフ・B・クラスカル・シニアは成功した毛皮卸売業者であった。母リリアン・ローズ・フォアハウス・クラスカル・オッペンハイマーは、テレビが普及し始めた初期に折り紙芸術の著名な推進者となり、ニューヨーク市にアメリカ折り紙センターを設立し、後にOrigamiUSAとなった。彼は5人兄弟の三男で、2人の兄、ジョセフ・クラスカルとウィリアム・クラスカルもまた著名な数学者として名を馳せた。

クラスカルの妻であるローラ・クラスカル(Laura Kruskal英語)もまた折り紙の講師であり、作家であり、多くの新しい折り紙モデルの考案者であった。彼らは56年間結婚生活を送った。マーティン・クラスカル自身も、秘密のメッセージを送るための封筒など、いくつかの折り紙モデルを発明している。この封筒は簡単に広げることができたが、一度広げるとその行為を隠すように元通りに折りたたむことは容易ではなかったという。彼らには3人の子供がいた。長女のカレン(Karen英語)は弁護士、次女のケリー(Kerry英語)は児童書作家、そして長男のクライド・クラスカル(Clyde Kruskal英語)はメリーランド大学のコンピュータ科学者である。

4. 受賞歴と栄誉

クラスカルは、その学術的キャリアを通じて数々の賞と栄誉を受けており、主要なものとしては以下のものが挙げられる。

  • ギブズ講演者、アメリカ数学会(1979年)
  • ダニー・ハイネマン数理物理学賞、アメリカ物理学会(1983年)
  • ハワード・N・ポッツ・ゴールドメダル、フランクリン協会(1986年)
    • 共同受賞であり、「数理物理学への貢献、解析と計算の早期の創造的組み合わせ、特にソリトンの特性に関する画期的な研究」が評価された。
  • 応用数学および数値解析賞、全米科学アカデミー(1989年)
  • 国家科学賞(1993年)
    • 「非線形進化方程式のソリトン解理論の主要な立役者として、20年以上にわたり非線形科学のリーダーとしての影響力」に対して授与された。
  • ジョン・フォン・ノイマン記念講演、工業応用数学会(1994年)
  • 名誉理学博士号、ヘリオット・ワット大学(2000年)
  • マクスウェル賞、産業応用数学評議会(2003年)
  • スティール賞、アメリカ数学会(2006年)
    • クリフォード・S・ガードナー、ジョン・M・グリーン、ロバート・M・ミウラと共に受賞。「彼らの研究以前には、いかなる重要なクラスの非線形微分方程式の厳密解に対する一般的な理論も存在しなかった」と評価され、ソリトン理論が「非線形性を煩わしいものから活用すべき新しいツールへと変革した」と評された。

    また、以下の学会の会員にも選出されている。

    • 全米科学アカデミー会員(1980年)
    • アメリカ芸術科学アカデミー会員(1983年)
    • 王立協会外国人会員(1997年)
    • ロシア科学アカデミー外国人会員(2000年)
    • エディンバラ王立協会フェロー(2001年)

5. 死亡

マーティン・デイヴィッド・クラスカルは、2006年12月26日に死去した。

6. 影響と評価

クラスカルの研究は、数学、物理学、および関連科学分野に広範かつ継続的な影響を与えた。特に非線形科学とソリトン理論における彼の先駆的な役割は、科学界における彼の地位を確固たるものにしている。

著名な数学者フィリップ・A・グリフィスは、ミレニアムの転換期における数学の状況を概観する記事の中で、KdV方程式の可積分性の発見が「計算、そして微分方程式を研究する伝統的な方法である数学的解析における発展を含み、数学の統一性を最も美しい形で示した」と述べている。さらに彼は、KdV方程式の解が「代数幾何学における非常に洗練された構築物を通して理解でき、また、これらの方程式が無限の隠れた対称性を持つという点で表現論と密接に関連し、最終的には初等幾何学の問題にまで遡って関連する」と説明し、その学際的な意義を強調している。

また、クラスカルが提唱した「漸近論」という概念は、「極限状況にある応用数学的システムを扱う芸術」として定義された。この用語は「ソリトン」ほど広く知られているわけではないが、クラスカルはこれが科学と芸術の中間に位置する特別な知識分野であることを示そうと試みた。彼のこの提案は、非常に実り多いものであることが証明され、漸近的な方法論の理解と応用を深める上で重要な役割を果たしている。