トアルフ・スコーレム

1.1. 幼少期と家族

スコーレムの父親は小学校の教師であったが、彼の親族の多くは農民であった。このような背景は、彼の実用的で地に足の着いた思考様式に影響を与えた可能性がある。

1.2. 教育

スコーレムはクリスチャニア(後のオスロ)の中等学校に通い、1905年に大学入学試験に合格した。その後、Det Kongelige Frederiks Universitet(後のオスロ大学)に入学し、数学を専攻した。彼は数学の他にも、物理学、化学、動物学、植物学といった幅広い分野の講義を受講し、その後の学際的な研究の基礎を築いた。

1.3. 初期キャリアとビルケランとの協力

1909年、スコーレムは物理学者クリスティアン・ビルケランの助手として働き始めた。ビルケランは、磁化された球体に電子を照射してオーロラのような効果を得る研究で知られていた。スコーレムの最初の出版物は、ビルケランとの共著による物理学の論文であった。この初期の経験は、彼の学際的な視点を育む上で重要な役割を果たした。

1913年には、国家試験に優秀な成績で合格し、「論理代数に関する研究」と題する論文を完成させた。同年、彼はビルケランと共にスーダンへ赴き、黄道光の観測を行った。1915年の冬学期には、当時数理論理学、メタ数学、抽象代数学の主要な研究拠点であったゲッティンゲン大学で過ごし、後に彼が卓越するこれらの分野での知識を深めた。

1.4. 学術キャリアと大学生活

1916年、スコーレムは王立フレデリク大学の研究員に任命された。1918年には数学の助教授となり、ノルウェー科学文学アカデミーの会員に選出された。

当初、スコーレムはノルウェーにおいて博士号は不要であると考えていたため、正式に博士課程に登録することはなかった。しかし、後に考えを改め、1926年に「特定の代数方程式および不等式の整数解に関するいくつかの定理」と題する博士論文を提出し、博士号を取得した。彼の名目上の指導教員はアクセル・トゥーエであったが、トゥーエは既に1922年に死去していた。

スコーレムは、1930年まで王立フレデリク大学(1939年にオスロ大学と改称)で教鞭を執り続けた。1930年、彼はベルゲンのクリスチャン・ミケルセン研究所の研究員に就任した。この上級職は、スコーレムが管理業務や教育義務から解放され、純粋に研究に専念できる環境を提供した。しかし、この職位はベルゲンに居住することを義務付けており、当時ベルゲンには大学がなく、研究図書館も存在しなかったため、彼は最新の数学文献にアクセスすることが困難であった。この経験は、研究環境の重要性を浮き彫りにするものであった。

1938年、彼はオスロに戻り、オスロ大学の数学教授に就任した。オスロ大学では、主に代数学や数論の大学院課程を教え、数理論理学を教えることは稀であった。彼の博士課程の学生であったオイスタイン・オーレは、後にアメリカ合衆国でキャリアを築いた。

スコーレムはノルウェー数学協会の会長を務め、長年にわたり「Norsk Matematisk Tidsskrift_{ノルウェー数学雑誌}^{ノルウェー語}」の編集に携わった。また、「Mathematica Scandinavica_{マテマティカ・スカンディナヴィカ}^ラテン語」の創刊編集者でもあった。

1.5. 私生活

1927年、スコーレムはエーディト・ヴィルヘルミーネ・ハスヴォルと結婚した。彼の私生活に関する公にされている情報は限られているが、安定した家庭生活が彼の学術活動を支えたと考えられる。

1.6. 引退後と死去

1957年に引退した後も、スコーレムは活発に活動を続けた。彼は数回にわたってアメリカ合衆国を訪問し、各地の大学で講演や講義を行った。彼は1963年3月23日に突然の予期せぬ死を遂げるまで、知的に活動的であり続けた。

2.1. 数理論理学と集合論

スコーレムは数理論理学と集合論における先駆的な研究者であった。1922年には、ツェルメロの公理系における「明確な」性質という曖昧な概念を、一階述語論理で符号化できる任意の性質に置き換えることで、ツェルメロの公理系を洗練させた。この結果として得られた公理は、現在では集合論の標準的な公理の一部となっている。

また、スコーレムはレーヴェンハイム-スコーレムの定理の帰結として、現在「スコーレムのパラドックス」として知られる現象を指摘した。これは、ツェルメロの公理系が一貫しているならば、非可算集合の存在を証明するにもかかわらず、可算な領域内で充足可能でなければならないというものである。このパラドックスは、形式的な公理系と直感的な無限の概念との間の複雑な関係を浮き彫りにした。

2.2. モデル理論

スコーレムはモデル理論の開拓者の一人である。1920年には、レオポルト・レーヴェンハイムが1915年に初めて証明した定理の証明を大幅に簡素化し、その結果としてレーヴェンハイム-スコーレムの定理が誕生した。この定理は、可算な一階理論が無限モデルを持つならば、可算モデルも持つと述べている。彼の1920年の証明では選択公理が用いられたが、後に(1922年と1928年)彼はその公理の代わりにケーニヒの補題を用いた証明を与えた。

スコーレムは、レーヴェンハイムと同様に、チャールズ・サンダース・パースやエルンスト・シュレーダーの記法(例えば、変数束縛量化子としてのΠやΣ)を用いて数理論理学と集合論を記述したことで注目される。これは、ペアノやプリンキピア・マテマティカ、数理論理学の原理の記法とは対照的であった。また、スコーレムは1934年に算術の非標準モデルと集合論の構成を先駆的に行った。

2.3. 束論

スコーレムは束論の初期の研究者の一人でもあった。1912年には、n個の要素によって生成される自由分配束を初めて記述した。1919年には、すべての含意束(現在ではスコーレム束とも呼ばれる)が分配束であることを示し、その部分的な逆として、すべての有限分配束が含意束であることを示した。これらの結果が他の研究者によって再発見された後、スコーレムは1936年にドイツ語で「Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'_{「特定の『束』または『格子』について」}^ドイツ語」と題する論文を発表し、束論における自身の初期の業績を概観した。

2.4. 有限主義と計算可能性理論

スコーレムは無限の概念、特に「完成された無限」に対して懐疑的であり、数学における有限主義の創始者の一人であった。1923年の彼の研究は、原始再帰算術を提示し、計算可能関数の理論への非常に初期の貢献となった。これは、いわゆる無限のパラドックスを回避するための手段として考案された。この研究において、彼はまず原始再帰によって対象を定義し、次に最初のシステムによって定義された対象の性質を証明するための別のシステムを考案することで、自然数の算術を発展させた。これら二つのシステムにより、彼は素数を定義し、かなりの量の数論を構築することができた。最初のシステムを対象を定義するためのプログラミング言語、二番目のシステムを対象に関する性質を証明するためのプログラミング論理と見なすならば、スコーレムは理論計算機科学の無意識の先駆者と見なすことができる。

1929年、プレスバーガーは、乗算を含まないペアノ算術が無矛盾、完全、かつ決定可能であることを証明した。その翌年、スコーレムは、加算を含まないペアノ算術についても同様のことが言えることを証明し、このシステムは彼にちなんでスコーレム算術と名付けられた。ゲーデルの1931年の有名な結果は、ペアノ算術自体(加算と乗算の両方を含む)が不完全であり、したがって事後的に決定不能であることを示した。

2.5. 主要な定理と概念

スコーレムにちなんで名付けられた、または彼が貢献した主要な数学的定理と概念には、以下のようなものがある。

• スコーレム標準形
• スコーレム算術
• スコーレム-ネーターの定理：単純環の自己同型を特徴づける定理。スコーレムは1927年に証明を発表したが、エミー・ネーターが数年後に独立して再発見した。
• スコーレム-マーラー-レヒの定理
• スコーレムのパラドックス
• スコーレム問題
• スコーレム数列
• P進数法：スコーレムは、ディオファントス方程式の整数解に関する研究の一環として、P進数法の応用にも貢献した。

4.1. 肯定的評価

中国系アメリカ人の論理学者である王浩は、スコーレムの業績を次のように評価している。
「スコーレムは、一般的な問題を具体的な例によって扱う傾向があった。彼はしばしば、発見したのと同じ順序で証明を提示しているように見えた。この結果、新鮮な非公式さと、ある種の未完結さが生まれた。彼の論文の多くは、進捗報告のように思われる。しかし、彼のアイデアはしばしば豊かで、幅広い応用が可能な潜在力を持っていた。彼はまさに『自由な精神』の持ち主であった。彼はどの学派にも属さず、自身の学派を創設することもなかった。彼は通常、既知の結果を大々的に利用することもなかった...彼は非常に革新者であり、彼の論文のほとんどは、専門的な知識をあまり持たない者でも読むことができ、理解することができた。もし彼が今日若かったならば、論理学は彼にとって魅力的ではなかった可能性が高いように思われる。」

この評価は、スコーレムが形式的な枠組みや既存の学派に縛られず、独自の直感と創造性に基づいて研究を進めた「自由な精神」の持ち主であったことを示している。彼の研究は、その独創性と明快さから、多くの研究者に影響を与え、新たな研究分野の開拓に貢献した。

4.2. 批判と論争

スコーレムの業績に対する直接的な批判や論争はほとんど見られないが、彼の研究が持つ広範な影響について、彼自身が完全に認識していなかったという指摘がある。例えば、一階述語論理の完全性定理は、スコーレムが1920年代初頭に証明した結果の系として導き出されるものであり、彼自身も1928年の論文でこれについて言及している。しかし、彼はこの事実を明示的に指摘しなかった。これは、ヒルベルトとアッカーマンの著書「数理論理学の原理」の1928年版がメタ数学における根本的な問題として完全性を明確に提示するまで、数学者や論理学者が完全性の重要性を十分に認識していなかったためかもしれない。この点は、彼の研究の深遠さと、それが後の時代にどのように再評価されたかを示す興味深い側面である。

4.3. 後世への影響

スコーレムの数学的アイデアと方法論は、後世の数学および論理学の発展に多大な影響を与えた。彼のモデル理論における先駆的な研究は、この分野の基礎を築き、現代の論理学における不可欠なツールとなった。スコーレムのパラドックスは、集合論の基礎を巡る議論に新たな視点を提供し、形式的システムと直感的概念の間の複雑な関係を深く考察するきっかけとなった。

また、彼の有限主義への傾倒と原始再帰算術の構築は、計算可能性理論の初期の発展に重要な貢献をした。彼が意図せずして理論計算機科学の先駆者となったという事実は、彼の数学的洞察が持つ広範な応用可能性を示している。スコーレムの業績は、純粋数学の発展だけでなく、その厳密な論理的基盤を通じて、科学技術全体の進歩に間接的に貢献し続けている。